Pasemos ahora a la organización matemática.—Con respecto al número, los filósofos de la matemática nos explican el largo y laborioso proceso que llevó al hombre a despegar de los objetos la noción de las cantidades de objetos, su aumento o disminución, su orden, etc.

El hombre poseía seguramente desde los orígenes aquel vago instinto numérico —acaso prendido en los ritmos fisiológicos: latido, resuello, paso— que, según parece, poseen también ciertas aves y aun ciertos insectos, no digamos ya los primates superiores. Pero el carácter progresivo de las nociones matemáticas y la dificultad con que adelantan se demuestra por la supervivencia de ciertas etapas atrasadas. Todavía hay tribus australianas o del Mar del Sur que, por no haber alcanzado siquiera la etapa de contar con los dedos o de asociar las confrontaciones visuales y las táctiles —lo que según los psicólogos resulta de la disposición de las capas externas e internas de la córnea del ojo— no han llegado a la percepción del número. Hay otras poblaciones que cuentan por gestos y mímica corpórea, de suerte que, como lo observaba Rousseau a propósito del lenguaje, no pueden transmitir un cómputo en la oscuridad. Algunas mezclan palabras que designan órdenes (por ejemplo, decenas), con mímica digital que completa las unidades.

El origen del número debe considerarse desde un doble punto de vista: el lógico y el místico. Desde el punto de vista lógico, como ya lo sintió Descartes, la matemática es un orden mental que deriva de la función lingüística. Se refiere a las operaciones de abstracción, correspondencia y sucesión. La abstracción del primitivo se ejerce sobre los centros de interés de su vida y sólo se desarrolla conforme va haciendo falta. Al modo que hay lenguas primitivas que tienen nombres para cada color del arco iris y no poseen todavía el término general “color”, se concibe que el hombre haya tardado en darse cuenta de que había algo común entre una pareja de faisanes y un par de días, según dice Russell. Y así como hay lenguas que poseen numerosas palabras para la espada o para el león, según las condiciones de su existencia (el árabe), se comprende que ciertos grupos del Congo Belga muden su terminología para enumerar seres animados u objetos inanimados. Pero el carecer de un nombre hecho para la abstracción sólo significa que tal nombre es todavía inútil, y no que se carezca de la noción misma. Hay salvajes que tienen una sola palabra para el verde y el azul y, sin embargo, los distinguen perfectamente. Los famosos tests de eficiencia mental suelen descuidar esta calificación relativa del distinto interés vital, que para nada afecta a la eficiencia misma del sujeto estudiado.

Considérese, además, como lo nota agudamente Pécaut (“El niño y el número”, en la Revue Pédagogique, nueva serie, tomo LXXIX, nº 10, octubre de 1921, p. 247) que “contar es función casi opuesta a la de abstraer”, aun cuando sin duda la presupone. Esto nos conduce a las otras dos operaciones lógicas, la correspondencia y la sucesión. La correspondencia de objeto a objeto nos deja ver la existencia de la noción del número sin la necesidad de una cuenta, como cuando en un salón comparamos a simple vista el número de asientos y el de personas, y según que todos estén sentados o haya personas de pie o asientos vacíos, calculamos el más y el menos o el completo ajuste de ambas clases. Método de que queda resabio en nuestro verbo “calcular”, de “cálculo” o piedrecita, por cada piedrecita que se adjudica a cada objeto y que es el origen del número cardinal. La sucesión, que es ya la cuenta y de que a la larga resulta el número ordinal, nos permite establecer una serie estricta u orden determinado, y la consecuente previsión de que, tras este número cardinal, tiene que venir tal otro número cardinal. Ambos números aparecen imbricados en la invención y se los puede significar del modo siguiente en un ademán de primitivo: si se muestran al mismo tiempo tres dedos de la mano, se propone un número cardinal; y si se alzan los tres dedos uno tras otro, se propone un número ordinal. El ordinal deja ocioso, a la larga, el sistema de referencia o clase de objetos usados para la confrontación, objetos que equivalen a la colección de piedrecitas.

El sistema decimal que hoy usamos no es el único empleado en todos los pueblos. Hay vestigios de sistemas binarios, a los que Leibniz aconsejaba volver por lo que simplifican las operaciones aunque complican la notación gráfica. Hay también vestigios de sistemas quinarios. Los hay cuya base es doce, de que quedan huellas en los doce meses del año y en sistemas métricos todavía usados: doce peniques en un chelín, doce docenas en una gruesa, doce pulgadas en un pie, etc. Y todavía la base de veinte aparece en el score inglés y en el número francés quatrevingt o “cuatroveintes”, por “ochenta”. El sistema decimal se ha impuesto por economía, y en parte también por el accidente fisiológico de que el hombre tenga en las manos diez dedos plegables que permiten la cuenta.

Redondeada así la noción lógica del número, con el correlato de la noción de unidad, que es un descubrimiento difícil, falta todavía descubrir la misteriosa noción del “cero”, o nada cargada de sentido, y luego expandirla hacia arriba en la serie de las magnitudes crecientes, y hacia abajo en la serie de las decrecientes. Los tasmanios cuentan: uno, dos, muchos. Para ciertos hotentotes el infinito empieza más allá del tres, número máximo que alcanzan a percibir. Los guaraníes alcanzaban hasta el cuatro. Se ha admitido que todavía las lenguas europeas usan para el tres ciertos nombres que traen resabios de un primitivo significado equivalente a “mucho” o a “más allá”: “ter, trans”, “tras, trois”, etc. (J. Dantzig, El número, lenguaje de la ciencia, I, 2). Aquí juegan secundariamente las nociones de “unidad”, “pares” o correspondencias, “nones”, o falta de correspondencia, y “mucho” o “más allá”. Los números grandes sólo aparecen claramente analizados por el griego Arquímedes, en su apólogo del “computador de arenas” o “arenario”; y el verdadero infinito matemático, sólo en el siglo XIX. Respecto al decrecimiento por debajo del “cero”, supone ya una abstracción muy ejercitada. La fracción no se impone objetivamente a la contemplación del primitivo. Pues si con el fraccionamiento la cosa se destruye, como para los seres animados, no hay fracción sino aniquilamiento, muerte. Y si se trata de un objeto inanimado, una vara que se parte en dos no le aparece como media vara más media vara, sino como una reproducción de la vara en dos varas. Y para llegar a la noción del fraccionamiento infinitesimal han de pasar muchos siglos.

Tal es el número lógico. Pero todo conocimiento insuficiente desarrolla campos de fuerzas místicas. No es posible entrar aquí en la descripción de las preocupaciones místicas emanadas del número, y que van desde el pitagorismo hasta la matemática sublime o aplicación de la matemática a las pruebas de la existencia de Dios (A. Reyes, El Deslinde, Obras Completas XV). La magia, el folklore, las supersticiones, conservan la huella de estas humedades emocionales que suelen empapar al número, y que se relacionan también con la función lingüística o poder oscuro de dominio concedido al nombre de la cosa, o con la pintura o estatuaria mágicas a que se atribuye una virtud sobre la persona representada, como en la novela de Wilde, El retrato de Dorian Gray. Así se ve que el salvaje huye de la cámara fotográfica, y la mujer que se lanza a la vida libre toma un nombre de guerra, a manera de escudo místico. El enamorado esconde el nombre de su dama. Parafraseando a Musset, dice Gutiérrez Nájera en la Canción de Fortunio:

Si de la que amo con tal misterio

pensáis que el nombre revelaré,

sabedlo todos, por un imperio,

por un imperio no lo diré.

Entre las tribus atrasadas, que son nuestro único documento sobre la mentalidad primitiva, y también en numerosos testimonios de la literatura más arcaica, es fácil advertir que se han atribuido virtudes secretas al 3 (teologías trinitarias de la India o del cristianismo elaborado por la Grecia tardía, etc.), al 7 y a otros números. La aritmología pitagórica de los griegos ofrece los ejemplos más abundantes; y luego, la cabalística desarrolla la seudociencia de la aritmomancia, en que se conjugan las letras de los nombres con números y símbolos, la onomatomancia aritmética, etc., que son persistencias de la mentalidad prehistórica. Estos juegos de simetría han servido de inspiraciones artísticas y hasta de casuales inspiraciones científicas, porque el hombre no es pura y exclusivamente razón.

Aun dejando a un lado el álgebra o abstracción superior sobre los números, en funciones y relaciones representadas con letras, que es fruto muy tardío, hay que considerar, para el caso de los primitivos, otro concepto matemático fundamental: la figura geométrica. Tampoco ésta pudo ser abstraída en un instante. No lo lograron del todo los egipcios, que aún la veían pegada a la forma de un terreno material, y sólo llegaron a ella los filósofos griegos. Se dirá que los primitivos usaron ornamentaciones de forma geométrica, pero éstas son meras aplicaciones cualitativas de la forma y no abstracciones matemáticas. La geometría brota de la medición de propiedades, lo que no existe para el primitivo por no ser un centro de interés en su vida. La abstracción, que es siempre un esfuerzo, sólo se ejercita donde hace falta. No es que al primitivo le fuera imposible abstraer la noción de figura: es que no le hacía falta. Si quiere hablar de algo redondo, dirá “como la luna llena”, al modo que Pascal a los doce años redescubría la geometría euclidiana hablando de “redondos y barras”. Más aún, las experiencias psicológicas de Verlaine (no el poeta) comprueban aquellas doctrinas filosóficas que conceden a la mente humana una posibilidad de construcción abstracta, previa y aun indispensable a la captación de conocimientos experimentales concretos y derivados de las impresiones de los sentidos. Las intuiciones de la forma geométrica bien podían existir en la mente del primitivo, sin que experimentara necesidad alguna de expresarlas en abstracción matemática. Nótese que también ha habido en el orden geométrico cierta floración de emociones místicas, como el sentimiento de las direcciones privilegiadas del espacio, que todavía nos hacen ceder la derecha a la persona de respeto.

Lo que sabemos de la matemática prehistórica se reduce casi a la posibilidad de que ciertas barras y puntos, dibujados en ocre rojo en planchas de esquisto del aziliense o mesolítico, pueden representar cómputos (Capitant, La prehistoria).

En cuanto a las unidades de medida en sí misma, ya se entiende que su “desantropomorfización” no era indispensable al nacimiento de la ciencia abstracta, puesto que aún se usan pulgadas, pies, codos, jornadas, etcétera.

Alfonso Reyes, «El pensar matemático», Sirtes, Obras completas XXI, Fondo de Cultura Económica, México, 1981, pp. 186-190.